quarta-feira, 4 de novembro de 2009

Análise Combinatória

Arranjo

Exemplo 01: Quatro carros: G, P, M e E, disputam uma corrida. Supondo que todos terminem a prova, quantas são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares?

Solução:

Temos que:

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Então, existem 24 possibilidades de chegada para os três primeiros lugares, ou seja,

Imagem

Observe que essas possibilidades de chegada diferem entre si:

Ø Pela ordem dos carros (elementos):

Cada resultado (agrupamento ou seqüência) assim obtido é denominado de ARRANJO SIMPLES são 4 elementos tomados 3 a 3.

Indica-se o número total desses agrupamentos por:

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E, há 24 possibilidades de escolha para os 3 primeiros lugares.

Vejamos como caracterizar esses agrupamentos: Seja E um conjunto com n elementos e p menor ou igual a n, com n, p pertencentes aos IN*.

“Denomina-se arranjo simples dos n elementos de E, p a p, toda seqüência de p elementos distintos de E”.

Indica-se o número desses arranjos simples por:

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Lê-se: número de arranjos simples de n elementos tomados p a p. Para calcular esse arranjo, vamos observar o seguinte agrupamento (seqüência) com p elementos distintos obtidos com n elementos de E.

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Logo, pelo principio multiplicativos, temos:

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Note que esse desenvolvimento contém p fatores. O arranjo é dito simples se os elementos agrupados (seqüência) forem distintos. Caso contrário, temos um arranjo com repetição.

A fórmula de arranjo simples pode ser expressa por meio de fatoriais:

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Multiplicando-se o 2º membro por

 

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que é igual a 1, obtemos:

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Então,

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Resumindo: Arranjo simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os agrupamentos ordenados diferentes que se podem formar com p dos n elementos dados.

Observação: Pode-se usar o conceito de arranjo como o princípio fundamental da contagem para resolver problemas que envolvam essa idéia. Lembre-se, mais importante do que decorar uma fórmula e aplicá-la é compreender o que está sendo feito.

Exemplo 02: Calcule:

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Exercícios:

1. Calcule:

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2. Quantos números de três elementos distintos formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 7?

3. Quantos números pares de 4 algarismos obtemos com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem repeti-los?

4. De quantas maneiras distintas podemos classificar os 6 primeiros colocados numa corrida de bicicleta disputada por 10 ciclistas?

5. Um Grande Prêmio de Fórmula 1 vai ser disputado por 24 pilotos, dos quais três são brasileiros. Em quantos resultados dessa prova é possível ter ao menos um piloto brasileiro figurando em uma das três primeiras colocações?

6. Uma bandeira tem 4 faixas horizontais.

a) Quantas são as possibilidades de pintá-la de 4 cores distintas, escolhendo entre as 7 cores do espectro solar (vermelho, alaranjado, amarelo, verde, azul, anil, violeta)?

b) E quantas bandeiras podem ser pintadas se, além da condição do item a, a cor amarela deve estar sempre presente?

7. Cinco homens e duas mulheres estão em uma sala de espera, onde há apenas um banco de cinco lugares. De quantas maneiras diferentes os homens podem se sentar, nunca deixando em pé as mulheres? E de quantas maneiras diferentes essas pessoas podem se sentar no banco?

8. Designando-se seis cidades por A, B, C, D, E e F, determine o número de maneiras que permite a ida de A até F, passando por todas as demais cidades.

9. Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O segredo do cofre é formado por uma seqüência de 3 dígitos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverão fazer (no máximo) para conseguir abri-lo. Suponha que a pessoa sabe que o segredo é formado por dígitos distintos.

10. Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas maneiras duas pessoas podem se sentar, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas?

11. Uma urna A contém 5 bolas enumeradas de 1 a 5. Outra urna B, contém 3 bolas enumeradas de 1 a 3. Qual o número de seqüência numéricas que podemos obter se extrairmos, sem repetição, 3 bolas da urna A e, em seguida, 2 bolas da urna B.

Referencias Bibliográficas

HAZZAN, S. (2004). Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 5: Combinatória e Probabilidade. Ed. Atual. São Paulo – SP

GIOVANNI, J. R. (2000). Coleção Matemática – Uma nova abordagem, vol. 2: Versão Trigonometria. Ed. FTD. São Paulo – SP.

DANTE, L. R. (2005). Matemática – Volume único. Ed. Ática. São Paulo – SP.